Je li tim matematičara samo napravio veliki korak u odgovoru na 160-godišnje pitanje iz matematike vrijedno 160 godina?
Može biti. Posada je riješila brojna druga, manja pitanja u polju zvanom teorija brojeva. I čineći to, ponovo su otvorili staru aveniju koja bi na kraju mogla dovesti do odgovora na staro pitanje: Je li Riemannova hipoteza tačna?
Reimannova hipoteza temeljna je matematička pretpostavka koja ima ogromne posljedice na ostatak matematike. To je temelj mnogim drugim matematičkim idejama - ali nitko ne zna je li to istina. Njegova valjanost postala je jedno od najpoznatijih otvorenih pitanja iz matematike. To je jedan od sedam "Milenijskih problema" postavljenih 2000. godine, uz obećanje da će onaj tko ih riješi osvojiti milion dolara. (Od tada je riješen samo jedan problem.)
Odakle ta ideja?
Još davne 1859. godine njemački matematičar Bernhard Riemann predložio je odgovor na posebno bodljiku matematičku jednadžbu. Njegova hipoteza ide ovako: Stvarni dio svake netrivijalne nule Riemannove zeta funkcije je 1/2. To je prilično apstraktna matematička izjava koja govori o tome koje brojeve možete staviti u određenu matematičku funkciju kako bi ta funkcija bila jednaka nuli. Ali ispada da ima veliku važnost, što je najvažnije u vezi pitanja koliko često ćete se susretati s glavnim brojevima dok računate do beskonačnosti.
Na detalje hipoteze vratit ćemo se kasnije. Ali sada je važno znati da ako je Riemannova hipoteza istinita, on će odgovarati na mnoga pitanja iz matematike.
"Tako često u teoriji brojeva ono što se na kraju događa jest ako pretpostavite Riemannovu hipotezu, tada ste u mogućnosti dokazati sve ostale rezultate", Lola Thompson, teoretičarka broja na Oberlin Collegeu u Ohiju, koja nije bila uključena u ovom najnovijem istraživanju, rekao je.
Često je, rekla je Live Science, teoretičari brojeva prvo dokazati da je nešto istina ako je Riemannova hipoteza istinita. Tada će taj dokaz upotrijebiti kao svojevrsni odskočni korak prema zamršenijem dokazu, koji pokazuje da je njihov izvorni zaključak istinit je li Riemannova hipoteza istinita ili ne.
Činjenica da ovaj trik djeluje, rekla je, uvjerava mnoge matematičare da Riemannova hipoteza mora biti istinita.
Ali istina je da to nitko sigurno ne zna.
Mali korak prema dokazu?
Pa kako se činilo da nas je ovaj mali tim matematičara približio rješenju?
"Ono što smo učinili u svom radu", rekao je Ken Ono, teoretičar broja na Sveučilištu Emory i koautor novog dokaza, "jesmo li revidirani vrlo tehnički kriterij koji je ekvivalentan Riemannovoj hipotezi ... i pokazali smo se velikim dio toga. Dokazali smo veliku crtu ovog kriterija. "
"Kriterij koji je ekvivalentan Riemannovoj hipotezi", u ovom se slučaju odnosi na zasebnu izjavu koja je matematički jednaka Riemannovoj hipotezi.
Na prvi pogled nije očito zašto su dvije izjave tako povezane. (Kriterij ima veze s nečim što se naziva "hiperboličnost Jensenovih polinoma.") No u 1920-im mađarski matematičar George Pólya dokazao je da ako je taj kriterij istinit, tada je Riemannova hipoteza istinita - i obrnuto. Stari je predloženi put ka dokazivanju hipoteze, ali onaj koji je u velikoj mjeri napušten.
Ono i njegovi kolege u radu objavljenom 21. svibnja u časopisu Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) dokazali su da je kriterij u mnogim, mnogim slučajevima istinit.
Ali u matematici mnogi nisu dovoljni da bi se mogli smatrati dokazom. Ima još slučajeva u kojima se ne zna je li kriterij istinit ili lažan.
"To je poput igranja Powerball-a s milijunima", rekao je Ono. "I znate sve brojeve, ali zadnjih 20. Ako je i jedan od tih zadnjih 20 brojeva pogrešan, izgubili ste se ... To bi se još moglo raspasti."
Istraživači bi trebali smisliti još napredniji dokaz kako bi pokazali da je kriterij istinit u svim slučajevima, čime bi dokazali Riemannovu hipotezu. I nije jasno koliko je daleko takav dokaz, rekao je Ono.
Pa, koliko je velik posao ovaj rad?
U smislu Riemannove hipoteze, teško je reći koliko je to velik posao. Mnogo ovisi o tome što će se dogoditi sljedeće.
"Ovo je samo jedna od mnogih ekvivalentnih formulacija Riemannove hipoteze", rekao je Thompson.
Drugim riječima, postoji puno drugih ideja koje bi, poput ovog kriterija, dokazale da je Riemannova hipoteza istinita ako su i same dokazane.
"Dakle, stvarno je teško znati koliki je to napredak, jer je s jedne strane postignut napredak u tom smjeru. Ali, postoji toliko mnogo jednakih formulacija da možda ovaj smjer neće dati Riemannovu hipotezu. Možda jedna od druge ekvivalentne teoreme će umjesto toga, ako netko to može dokazati, "rekao je Thompson.
Ako se dokaz pokaže na ovom tragu, to će vjerojatno značiti da su Ono i njegovi kolege razvili važan temeljni okvir za rješavanje Riemannove hipoteze. Ali ako se pojavi negdje drugdje, ispada da je ovaj rad manje važan.
Ipak, matematičari su impresionirani.
"Iako je ovo još daleko od dokazivanja Riemannove hipoteze, to je veliki korak naprijed", napisao je Encrico Bombieri, teoretičar brojeva s Princetona koji nije bio uključen u istraživanje tima, napisao je u popratnom članku PNAS-a od 23. svibnja. "Nema sumnje da će ovaj rad potaknuti na daljnji temeljni rad u drugim područjima teorije brojeva kao i u matematici."
(Bombieri je 1974. godine osvojio Field Field - najprestižniju nagradu u matematici i to velikim dijelom za rad vezan za Riemannovu hipotezu.)
Što uopće znači Riemannova hipoteza?
Obećao sam da ćemo se vratiti ovome. Evo opet Riemannove hipoteze: Stvarni dio svake ne trivijalne nule Riemannove zeta funkcije je 1/2.
Raščlanimo to prema načinu na koji su to objasnili Thompson i Ono.
Prvo, koja je funkcija Riemanna zete?
U matematici, funkcija je odnos između različitih matematičkih veličina. Jednostavno može izgledati ovako: y = 2x.
Riemannova zeta funkcija slijedi iste osnovne principe. Samo što je to puno složenije. Evo kako to izgleda.
To je zbroj beskonačnog niza, pri čemu se svaki izraz - prvih nekoliko 1/1 s, 1/2 ^ s i 1/3 ^ s - dodaje prethodnim izrazima. Te elipse znače da se serija u funkciji nastavlja tako zauvijek.
Sada možemo odgovoriti na drugo pitanje: Što je nula Rietonove zeta funkcije?
Ovo je lakše. "Nula" funkcije je bilo koji broj koji možete unijeti za x koji funkciju čini jednakom nuli.
Sljedeće pitanje: Koji je "stvarni dio" jedne od tih nula i što znači da je jednaka 1/2?
Riemannova zeta funkcija uključuje ono što matematičari nazivaju "složenim brojevima". Složen broj izgleda ovako: a + b * i.
U toj jednadžbi stoje "a" i "b" za bilo koje stvarne brojeve. Pravi broj može biti bilo što, od minus 3, do nule, do 4,9234, pi ili 1 milijarde. Ali postoji i druga vrsta brojeva: imaginarni brojevi. Zamišljeni brojevi pojavljuju se kad uzmete kvadratni korijen negativnog broja i oni su važni, prikazujući se u svim vrstama matematičkih konteksta.
Najjednostavniji imaginarni broj je kvadratni korijen -1, koji je napisan kao "i". Složen broj je stvaran broj ("a") plus još jedan stvarni broj ("b") puta i. "Pravi dio" složenog broja jest onaj "a".
Reimannova hipoteza ne uključuje nekoliko nula Riemannove zeta funkcije, negativni cijeli brojevi između -10 i 0. To se smatraju „trivijalnim“ nulama jer su to stvarni brojevi, a ne složeni brojevi. Sve ostale nule su "ne-trivijalni" i složeni brojevi.
Riemannova hipoteza kaže da kada Rietonova zeta funkcija pređe nulu (osim onih nula između -10 i 0), stvarni dio složenog broja mora biti jednak 1/2.
Ta mala tvrdnja možda ne zvuči vrlo važna. Ali je. A možda smo tek tinejdžerski malo bliži rješenju.
