"U beskonačnost i dalje!"
Jeste li čak duboko razmišljali o čuvenoj ključnoj riječi Buzz Lightyear iz filmova "Priča o igračkama"? Vjerojatno ne. Ali možda ste ponekad pogledali prema noćnom nebu i pitali se o prirodi same beskonačnosti.
Beskonačnost je čudan koncept, onaj koji ljudski mozak teško kontrolira i ograničava svoje razumijevanje. Mi kažemo da je svemir možda beskonačan, ali može li to zaista tako trajati zauvijek? Ili znamenke pi nakon decimalnog znaka - rade li zapravo beskonačno, uvijek nam daju tako precizni odnos omjera opsega kruga i polumjera? I, može li Buzz biti u pravu? Postoji li nešto izvan beskonačnosti?
Kako bi se borio sa ovim nagađanjima, Live Science se obratio za pomoć matematičaru Henryju Towsneru sa Sveučilišta Pennsylvania u Philadelphiji, koji je bio ljubazan da pokuša odgovoriti na pitanje: "Možete li prebrojati prošlost?" (Budite upozoreni: ovo će postati prefinjeno.)
Beskonačnost, rekao je Towsner, sjedi na čudnom mjestu: Većina ljudi osjeća kao da ima neku intuiciju o tom konceptu, ali što više razmišljaju o njemu, to je čudnije što on dobiva.
Matematičari, s druge strane, često ne razmišljaju o beskonačnosti kao konceptu, dodao je. Umjesto toga, oni koriste različite načine razmišljanja o tome kako bi se postiglo u njegovim mnogim aspektima.
Na primjer, postoje različite veličine beskonačnosti. To je dokazao njemački matematičar Georg Cantor krajem 1800-ih, prema povijesti sa Sveučilišta St Andrews u Škotskoj.
Cantor je znao da prirodni brojevi - to su čitavi, pozitivni brojevi poput 1, 4, 27, 56 i 15,687 - i dalje traju zauvijek. Oni su beskonačni, a oni su i ono što koristimo za prebrojavanje stvari, pa ih je definirao kao "značajno beskonačno", prema korisnom mjestu o povijesti, matematici i drugim temama obrazovnog karikaturista Charlesa Fishera Coopera.
Skupine bezbrojnih brojeva imaju zanimljiva svojstva. Na primjer, parni brojevi (2, 4, 6, itd.) Su također neizmjerno beskonačni. I dok ih tehnički ima upola manje, koliko ih ima čitav niz prirodnih brojeva, oni su i dalje iste vrste.
Drugim riječima, sve parne brojeve i sve prirodne brojeve možete smjestiti jedan pored drugog u dva stupca i oba stupaca idu u beskonačnost, ali oni su iste "duljine" beskonačnosti. To znači da je polovica brojive beskonačnosti još uvijek beskonačnost.
Ali Cantorin je veliki uvid bio shvatiti da postoje i drugi skupovi brojeva koji su bili neizbrojivo beskonačni. Stvarni brojevi - koji uključuju prirodne brojeve, kao i dijelove i iracionalne brojeve poput pi - beskrajni su od prirodnih brojeva. (Ako želite znati kako je Cantor to učinio i može li se nositi s nekim matematičkim zapisima, možete pogledati ovaj radni list sa Sveučilišta u Maineu.)
Ako biste sve prirodne brojeve i sve stvarne brojeve poredali u dva stupca, pravi bi se brojevi protezali izvan beskonačnosti prirodnih brojeva. Cantor je kasnije poludio, vjerojatno iz razloga koji nisu bili povezani s njegovim beskonačnim radom, prema Cooper-u.
Što se računa?
Dakle, vratimo se pitanju brojanja prošlosti beskonačnosti. "Ono zbog čega te matematika pita je:" Što to zapravo znači? "Rekao je Towsner. "Kako to misliš brojeći prošlost beskonačnosti?"
Kako bi došao do pitanja, Towsner je razgovarao o rednim brojevima. Za razliku od kardinalnih brojeva (1, 2, 3 i tako dalje), koji vam govore koliko je stvari u skupu, ordinali su definirani njihovim položajima (prvi, drugi, treći itd.), A u matematiku su ih uveli i Cantor, prema matematičkoj web stranici Wolfram MathWorld.
U rednim brojevima je pojam nazvan omega, označen grčkim slovom ω, rekao je Towsner. Simbol ω definira se kao stvar koja dolazi nakon svih ostalih prirodnih brojeva - ili, kako ga je nazvao Cantor, prvi transfinitirani ordinal.
Ali jedna je stvar kod brojeva to što uvijek možete na kraju dodati još jedan, rekao je Towsner. Dakle, postoji takva stvar kao ω + 1, i ω + 2, pa čak i ω + ω. (U slučaju da se pitate, na kraju pogodite broj zvan ω1, koji je poznat kao prvi nebrojivi red.)
A budući da je brojanje na neki način poput dodavanja dodatnih brojeva, ovi koncepti na neki način omogućuju vam prebrojavanje prošlosti beskonačnosti, rekao je Towsner.
Čudnost svega toga dio je razloga zbog kojeg matematičari inzistiraju na strogom definiranju njihovih pojmova, dodao je. Ako sve nije u redu, teško je odvojiti našu normalnu ljudsku intuiciju od onoga što se matematički može dokazati.
"Matematika vam govori:" Introspekt duboko, što se broji? "Rekao je Towsner.
Za nas obične smrtnike ove bi ideje mogle biti teške u potpunosti izračunati. Kako se točno rade matematičari bave svim tim smiješnim poslovima u svakodnevnom istraživanju?
"Mnogo toga je praksa", rekao je Towsner. "Razvijate nove intuicije izlaganjem, a kada intuicija ne uspije, možete reći:" Govorimo o ovom tačnom strogom dokazu, korak po korak. " Ako je ovaj dokaz iznenađujući, još uvijek možemo provjeriti je li točan, a zatim oko toga naučiti razvijati novu intuiciju. "
