U svemiru postoji novi najveći poznati glavni broj.
Zove se M77232917, a izgleda ovako:
Iako je smiješno ogroman broj (samo ta tekstualna datoteka koju čitatelji mogu preuzeti ovdje zauzima više od 23 megabajta prostora na računalu), M77232917 se ne može podijeliti bez upotrebe frakcija. Neće se raspasti u cjelobrojne brojeve bez obzira na ostale čimbenike, velike ili male, netko ih podijeli. Njeni su jedini čimbenici sami i broj 1. To je ono što ga čini glavnim.
Pa koliko je velik ovaj broj? Punih 23.249.425 znamenki - gotovo milion cifara duže nego kod prethodnog rekordera. Da je netko počeo ovo zapisati, 1.000 znamenki dnevno, danas (8. siječnja), završio bi 19. rujna 2081. prema nekim izračunima sigurnosnih salveta u časopisu Live Science.
Srećom, postoji jednostavniji način za upisivanje broja: 2 ^ 77,232,917 minus 1. Drugim riječima, novi najveći poznati primarni broj jedan je manje od 2 puta 2 puta 2 puta 2… i tako dalje 77,232,917 puta.
Ovo stvarno nije iznenađenje. Primjeri koji su manji od snage 2 pripadaju posebnoj klasi koja se naziva Mersenne primes. Najmanja Mersenneova premijera je 3, jer je glavna, a također jedna manje od 2 puta 2. Sedam je također premijera Mersennea: 2 puta 2 puta 2 minus 1. Sljedeća premijera Mersenne je 31 - ili 2 ^ 5-1.
Ova premijera Mersenne, 2 ^ 77,232,917-1, pojavila se u Velikoj internetskoj pretraživanju Mersenne Primes (GIMPS) - ogromnom suradničkom projektu koji uključuje računala širom svijeta - krajem prosinca 2017. Jonathan Pace, 51-godišnji inženjer elektrotehnike živi u Germantownu, Tennessee, koji je sudjelovao na GIMPS-u 14 godina, zaslužan je za otkriće, koje se pojavilo na njegovom računalu. Četiri druga lova na GIMPS koji koriste četiri različita programa potvrdili su premijeru tokom šest dana, navodi se u najavi GIMPS-a od 3. siječnja.
Mersenne primes svoja imena dobiva od francuskog redovnika Marin Mersenne, kako je objasnio matematičar sa Sveučilišta u Tennesseeju Chris Caldwell na svojoj web stranici. Mersenne, koji je živio od 1588. do 1648., predložio je da 2 ^ n-1 bude glavni kada je n jednako 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 i 257, a ne glavni za sve ostale brojeve manje od 257 (2 ^ 257-1).
Ovo je bio prilično dobar ubojica u odgovoru redovnika koji je radio tri i pol stoljeća prije zore modernog softvera za rješavanje premijera - i veliko poboljšanje u odnosu na pisce prije 1536., koji su vjerovali da je 2 pomnožila samu sebe bilo koji primarni broj puta minus 1 bi bio premijer. Ali nije bilo sasvim u redu.
Mersenneov najveći broj, 2 ^ 257-1 - napisan i kao 231,584,178,474,632,390,847,141,970,017,375,815,706,539,969,331,281,128,078,915,168,015,826,259,279,871 zapravo nije glavni. I promašio je nekoliko: 2 ^ 61-1, 2 ^ 89-1 i 2 ^ 107-1 - premda posljednja dva nisu otkrivena do početka 20. stoljeća. Ipak, 2 ^ n-1 primes nose ime francuskog redovnika.
Ovi su brojevi zanimljivi iz nekoliko razloga, iako nisu osobito korisni. Jedan veliki razlog: Svaki put kad netko otkrije premijeru Mersennea, otkrije i savršeni broj. Kao što je Caldwell objasnio, savršen broj je broj koji je jednak zbroju svih njegovih pozitivnih djelitelja (osim sebe).
Najmanji savršeni broj je 6, što je savršeno jer su 1 + 2 + 3 = 6 i 1, 2 i 3 svi 6-ti pozitivni djelitelji. Sljedeća je 28, što je jednako 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Nakon toga dolazi 494. Još jedan savršen broj pojavljuje se do 8.128. Kao što je Caldwell napomenuo, oni su poznati još od "prije Kristova vremena" i imaju duhovno značenje u određenim drevnim kulturama.
Ispada da se 6 može napisati i kao 2 ^ (2-1) x (2 ^ 2-1), 28 se može napisati kao 2 ^ (3-1) x (2 ^ 3-1), 494 je jednako 2 ^ (5-1) x (2 ^ 5-1), a 8.128 je također 2 ^ (7-1) x (2 ^ 7-1). Vidite drugi komad tih izraza? Sve su to Mersenne primes.
Caldwell je napisao da je matematičar iz 18. stoljeća Leonhard Euler dokazao da su dvije stvari istinite:
- "k je čak savršen broj ako i samo ako ima oblik 2n-1 (2n-1), a 2n-1 je primarni."
- "Ako je 2n-1 glavni, tada je i n."
Laički rečeno, to znači da svaki put kada se pojavi nova premijera Mersenna, pa tako i novi savršeni broj.
To vrijedi i za M77232917, iako je njegov savršeni broj vrlo, vrlo velik. Savršeni blizanac velikog premijera, GIMPS je naveo u svojoj izjavi, jednak je 2 ^ (77,232,917-1) x (2 ^ 77,232,917-1). Rezultat je dugačak 46 milijuna znamenki:
(Zanimljivo je da su svi poznati savršeni brojevi parni, uključujući i ovaj, ali nijedan matematičar nije dokazao da jedan neobičan broj ne može postojati. Caldwell je napisao da je ovo jedna od najstarijih nerazriješenih misterija u matematici.)
Pa koliko je rijetko ovo otkriće?
M77232917 ogroman je broj, ali to je tek 50. poznati Mersenneov premijer. To možda neće biti 50. Mersenne numeričkim redoslijedom; GIMPS je potvrdio da ne nedostaju Mersennevi između 3. i 45. Mersennea (2 ^ 37,156,667-1, otkriveno 2008.), ali poznati Mersennes 46 do 50 možda je preskočio neke nepoznate, intersencijalne Mersennes koje još nisu otkrivene.
GIMPS je odgovoran za svih 16 Mersennesa otkrivenih otkad je stvoren 1996. Ovi prilozi još uvijek nisu strogo "korisni", ako ih nitko nije pronašao. No, Caldwell-ova web stranica tvrdi da bi slava otkrića trebala biti dovoljno razlog, iako je GIMPS najavio da će Pace za svoje otkriće dobiti nagradu od 3000 dolara. (Ako netko otkrije najveći broj od 100 milijuna znamenki, nagrada je 150 000 USD od Zaklade Electronic Frontiers. Prva premijera od 1 milijarde vrijedna je 250 000 USD.)
Na duge staze, napisao je Caldwell, otkriće više prašuma moglo bi pomoći matematičarima da razviju dublju teoriju o tome kada i zašto nastaju primesi. Trenutno, međutim, oni jednostavno ne znaju, a na programima poput GIMPS-a traži se pomoću sirove računalne sile.
