Matematičari su otkrili veliki novi dokaz za jednu od najpoznatijih nedokazanih ideja iz matematike, poznatu kao dvostruka pretpostavka. Ali put kojim su krenuli kako bi pronašli te dokaze vjerojatno neće pomoći dokazivanju same pretpostavke dvostrukog premijera.
Pretpostavka o dvostrukom premotavanju odnosi se na to kako i kada se primarni brojevi - brojevi koji su djeljivi samo po sebi i 1 - pojavljuju na brojčanoj liniji. "Twin primes" su prajdovi koji se nalaze dva koraka jedan od drugog na toj liniji: 3 i 5, 5 i 7, 29 i 31, 137 i 139, i tako dalje. Pretpostavka o dvostrukom premijeru kaže da postoji beskonačno mnogo blizanaca i da ćete se s njima susretati bez obzira koliko daleko dolazite od broja. Također se navodi da postoji beskonačno mnogo pravih parova sa svim drugim mogućim razmakom između njih (glavni parovi koji su udaljeni četiri koraka, osam koraka, 200 000 koraka, itd.). Matematičari su prilično sigurni da je to istina. Izgleda da je istina. A da nije istina, to bi značilo da prazni brojevi nisu slučajni kao što su svi mislili, što bi poremetilo puno ideja o tome kako brojevi općenito rade. Ali to nikad nitko nije uspio dokazati.
Međutim, možda će biti bliži nego ikad prije. U radu objavljenom 12. kolovoza u časopisu za tiskanje arXiv, kako je Quanta prvi izvijestio, dvojica matematičara dokazala su da je pretpostavka dvostrukog premijera istinita - barem u nekoj vrsti alternativnog svemira.
To rade matematičari: rade na velikim dokazima dokazivanjem manjih ideja usput. Ponekad lekcije naučene iz tih manjih dokaza mogu nam pomoći kod većeg dokaza.
U ovom slučaju, matematičari Will Sawin sa Sveučilišta Columbia i Mark Shusterman sa Sveučilišta u Wisconsinu dokazali su verziju dvostrukog pretpostavki za alternativni svemir „konačnih polja“: brojevni sustavi koji ne idu u beskonačnost poput brojeve, ali umjesto toga petlju na sebe.
Vjerojatno svakodnevno nailazite na ograničeno polje na licu sata. Ide 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, a zatim se petlje vraća oko 1. U tom konačnom polju 3 + 3 je još uvijek jednak 6. Ali 3 + 11 = 2.
Konačna polja sadrže polinom ili izraze poput "4x" ili "3x + 17x ^ 2-4", Sawin je rekao Live Scienceu, baš kao što to čine redoviti brojevi. Matematičari su, kaže on, naučili da se polinomi preko konačnih polja ponašaju slično kao cijeli brojevi - čitavi brojevi na brojčanoj liniji. Izjave koje se odnose na cijele brojeve imaju tendenciju da imaju povjerenja i u polinom preko konačnih polja, i obrnuto. I baš kao što primarni brojevi dolaze u parovima, polinomi dolaze u parovima. Na primjer, blizanci 3x + 17x ^ 2-4 su 3x + 17x ^ 2-2 i 3x + 17x ^ 2-6. A lijepa stvar o polinomima, rekao je Sawin, je da za razliku od cijelih brojeva, kad ih crtate na grafu, oni stvaraju geometrijske oblike. Na primjer, 2x + 1 napravi graf koji izgleda ovako:
A 5x + x ^ 2 čini graf koji izgleda ovako:
Budući da polinomi preslikavaju oblike, a ne točkice koje dobivate pri graficiranju pojedinačnih pravih brojeva, geometrijom možete koristiti da dokažete stvari o polinomima koje ne možete dokazati o jednostavnim cijelim brojevima.
"Nismo bili prvi koji su primijetili da geometriju možete koristiti za razumijevanje konačnih polja", rekao je Shusterman za Live Science.
Drugi su istraživači dokazali manje verzije hipoteze o dvostrukim primesama o određenim vrstama polinoma preko konačnih polja. Ali Sawinov i Shustermanov dokaz zahtijevao je od istraživača da se vrate u nizu i počinju ispočetka, rekao je Sawin.
"Imali smo opažanje koje nam je omogućilo da izvedemo trik ... što je geometriju učinilo puno ljepšom tako da se primjenjuje u svim tim slučajevima", rekao je Shusterman.
Taj geometrijski trik rekao je da je doveo do njihovog proboja: dokazivanjem da je ova posebna verzija dvoznačne pretpostavke istinita za sve polinomese preko konačnih polja, a ne samo za neke od njih.
Loša vijest, rekao je Sawin, je da se njihov trik uvelike oslanja na geometriju pa ga vjerojatno neće biti moguće dokazati kao pretpostavku dvostrukog premijera. Matematika u osnovi jednostavno je previše različita.
Ipak, rekao je Shusterman, dokazivanje slučaja konačnih polja veliki je novi dokaz koji treba dodati na hrpu, zadirkujući matematičare s mogućnošću da dokaz koji svi čekaju negdje postoji.
Kao da su htjeli vidjeti vrh visoke strme planine, i umjesto toga, povukli su se prema drugoj planini u blizini. Gotovo mogu vidjeti daleki vrh, ali on je obavijen oblacima. A ruta kojom su krenuli do vrha druge planine vjerojatno neće raditi na planini koja ih stvarno zanima.
Shusterman je rekao da se nada da će nastaviti raditi sa Sawinom na problemu blizanca, te da je uvijek moguće da su nešto naučili u izradi ovog dokaza ipak biti važno za dokazivanje pretpostavke o blizancu.
